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Teste da Série Alternada |
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Em matemática, o teste da série alternada ou série alternante ou, ainda, teste de Leibniz ou critério de Leibniz, proposto por Gottfried Leibniz é um método para determinar a convergência e estimar o erro de trucamento de séries numéricas da seguinte forma: O teste diz que a série é convergente contanto que satifaça as seguintes hipóteses: E ainda o erro assumido ao truncar a série não supera o último termo considerado. Defina as somas parciais da seguinte forma: Agora considere as somas parciais de ordem par e ímpar: Observe que cada termo entre parênteses é menor ou igual a zero em e maior ou igual a zero em , assim o primeiro é não-crescente e o segundo é não-decrescente.
Portanto Da monotonicidade podemos acrescentar: Agora considere o limite : Assim, a passagem ao limite está justificada e vale: Para provar que a série converge, reste mostrar que , para tal faça: Denotando este limite por , temos: De onde se pode concluir a estimativa: Observe que este teste não assegura convergência absoluta, o que pode ser mostrado pela série harmônica alternada: que converge por esse teste, mas: |
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